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Mécanique des fluides

Poussée d'Archimède

De la pression à la poussée d'Archimède   definition

./data/pression.pdf Sur un solide immergé dans un fluide, le mouvement des particules du fluide provoque des chocs sur les parois du solide, assimilés à une force pressante perpendiculaire aux parois.

La pression au point M de sur la surface du volume est définie telle que

\(d\vec{F} = -p_M d\vec{S}\), avec dS un élément de surface, soit

pM = dF/dS (en Pa)

La loi de la statique des fluides est

Δ pAB = pA - pB = ρ g (zA - zB),

pour zB < zA, pB > pA, donc pour un même élément de surface dS : FB > FA.

La résultante des forces s'exerçant sur le solide est donc verticale vers le haut. Cela correspond à la poussée d'Archimède.

Notée \(\vec{F}_P\), elle correspond à la somme des forces pressantes exercées par un fluide au repos sur la partie immergée d'un corps (solide ou fluide).

Expression de la poussée d'Archimède

Soit dV un élément de volume dans un fluide au repos. D'après le principe d'inertie,

\(\vec{0} = \vec{P}_{fluide} + \vec{F}_P\),

soit \(\vec{F}_P = -\vec{P} = -m_{fluide} \vec{g} = -\rho V \vec{g}\)

La poussée d'Archimède exercée par un fluide de masse volumique ρfluide est une force opposée au poids du fluide déplacé

\(\vec{F}_P = -\rho_{fluide} V_{im} \vec{g}\),

avec FP en N, ρfluide en kg⋅ m-3, Vim en m3 et g en N⋅ kg-1

4 p 288   exercice

  1. Les flèches correspondent aux forces pressantes exercées sur les parois du solide.
  2. La résultante des forces correspond à la poussée d'Archimède.

5 p 288   exercice

  1. Schéma : P et FP

  2. \(\vec{P}_{ice} = \rho_ice V_ice \vec{g}\)

    Pice = ρice Vice g = 9.2e2 * 7.0e4 * 9.81 = 6.3e8 N

    \(\vec{F}_P = - \rho_eau V_im \vec{g}\)

    FP = ρeau Vim g = 1.02e3 * 6.3e4 * 9.81 = 6.3e8 N

    L'iceberg est en équilibre.

TODO 18 p 290   exercice

  1. Schéma : P et FP
  2. FP = ρeau Vim g

  3. Dans le référentiel terrestre considéré galiléen, les forces qui s'exercent sur le tronc se compensent, soit

    \(\vec{0} = \vec{P} + \vec{F}_P\)

  4. FP = P, soit ρeau Vim = mtronc = ρbois Vtronc

    Vtronc = π (D/2)2 l, h = D/2, donc Vim = Vtronc/2

    Donc ρbois Vtronc = ρeau Vtronc/2

    ρbois = ρeau/2 = 500 kg/m³

    Le sapin est donc sec.

TODO 23 p 292   exercice

Conservation du débit volumique

Débit volumique

Un fluide s'écoule en régime permanent stationnaire si la valeur de sa vitesse en chaque point est indépendante du temps

\(\dfrac{d\vec{v}}{dt} = \vec{0}\)

En régime permanent stationnaire, lorsqu'un volume V de fluide s'écoule au travers d'une section pendant une durée Δ t, le débit volumique (Dv) est donné par

Dv = dV / Δ t,

avec Dv en m3/s, dV en m³ et Δ t en s.

L'élément de volume s'exprime dV = S dl, donc le débit volumique DV est égal au produit de la surface de la section traversée par le fluide par la valeur v de la vitesse du fluide au niveau de cette section, soit

Dv = S × v

Conservation du débit volumique d'un fluide incompressible

./data/debit_volumique.pdf

Un fluide incompressible s'écoule en régime permanent stationnaire dans deux tubes de sections différentes. La masse de fluide qui s'écoule dans le tube de section SA est identique à la masse de fluide qui s'écoule dans le tube de section SB pendant le même intervalle de temps Δ t.

Au cours d'un écoulement en régime permanent stationnaire, le débit volumique d'un fluide incompressible est conservé

\(\dfrac{d Dv}{dt} = 0\)

La valeur v de la vitesse du fluide incompressible augmente si la surface traversée diminue.

9 p 288   exercice

  1. Dans un régime permanent stationnaire, le débit volumique des deux extrémités du tube est la même.

  2. DV1 = DV2, donc

    S1 v1 = S2 v2

    v2 = S1 v1 / S2 = 2.2 * 30 / 10 = 6.6 m/s

TODO 21 p 291   exercice

  1. DV = V / Δ t

    DV = 75e-6 / (60/70) = 8.8e-5 m3/s

  2. vA = 0.31 m/s

    DV = S vA, donc

    S = DV / vA

    π D2/4 = DV / vA

    D = \(\sqrt{4 * D_V / v_A * \pi}\) = 9.5e-3 m = 9.5 mm

  3. DVA = DVR

    vA SA = vR SR

    vR = vA SA / SR = vA (4π D2/4)/(4π d2/4)

    vR = vA D2/d2 = vA D2/(D2/52)

    vR = 25 vA = 25 * 0.31 = 7.75 m/s

  4. La vitesse est supérieure à 6 m/s, un souffle est donc entendu lors de l'auscultation.

Relation de Bernouilli   definition

Ligne de courant

Une ligne de courant modélise la trajectoire d'une particule dans un fluide. Elle est orientée dans le sens du déplacement du fluide.

Relation de Bernouilli

La relation de Bernouilli est une généralisation de la loi fondamentale de la statique des fluides, elle relie en toute position du fluide appartenant à une même ligne de courant la pression P, la valeur de la vitesse v et la coordonnée verticale de la position z

1/2 ρ v2 + ρ g z + P = constante

Exercices

12 p 289   exercice

15 p 289   exercice

TODO 26 p 293   exercice

Pour un fluide incompressible, si SA > SB, et zA = zB, la relation de Bernouilli devient

1/2 ρ vA2 + PA = 1/2 ρ vB2 + PB

1/2 ρ (DV/SA)2 + PA = 1/2 ρ (DV/SB)2 + PB

Une section plus grande en A qu'en B implique une vitesse plus petite en A qu'en B, donc une pression grande en A qu'en B.

C'est l'effet Venturi.

Exercices

Ballon d'hélium

Données :

  • ρhelium = 0.18 g/L
  • ρair = 1.292 kg/m3
  • ρair = p(z)M/RT

Soit un ballon d'hélium considéré sphérique de rayon r = 10 cm.

  1. Faire le bilan des forces et le schéma correspondant à la situation.
  2. Calculer la valeur de chaque force en jeu.
  3. Conclure sur la trajectoire suivie par le ballon.
  4. D'après la loi fondamentale de la statique des fluides, que peut-on dire de la pression si l'altitude augmente ?
  5. Le ballon peut-il continuer de monter indéfiniment ?

Préparation ECE

  1. vA = Δ h / Δ t = (60 - 29)/(0 - 400) = 0.775 mm/s

    1. Conservation du débit volumique

      DVA = DVC

      vA SA = vC SC

      vC = vA SA / SC

    2. A.N. : vC = 0.775 (π 1002)/(π 42) = 484 mm/s
    1. vCTorr = \sqrt{2gH} = 20 m/s

Mécanique des fluides, créé par E. Machefer, est sous licence CC BY-NC-SA 4.0